par Anaïs Culot 23.08.2021
L’étude des nombres anime les mathématiques depuis l’Antiquité. En évolution constante, l’arithmétique tisse un lien entre nombres et géométrie, et se retrouve dans des applications de la vie quotidienne, notamment en matière de cryptographie.
Au-delà du fait d’être un très mauvais tirage au Scrabble, les lettres N, Z, D, Q, R et C symbolisent, pour les mathématiciens, des ensembles de nombres. Par exemple, la lettre N désigne l’ensemble des entiers (1, 2, 3, etc.). Ceux-ci peuvent être pairs, impairs, ou encore premiers. La lettre Q qualifie, quant à elle, l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire s’exprimant comme un rapport de deux entiers. Lorsque ce n’est pas le cas, ils sont dits « irrationnels » comme pi (π) : 3,14115... ! Une variété qui ne peut que susciter la curiosité de quiconque se penche sur ces différentes familles de nombres...
Depuis l’Antiquité, les mathématiques s’y intéressent à travers l’arithmétique. Si ce terme nous dit quelque chose, c’est parce que nous l’étudions dès l’école primaire, notamment en apprenant ses quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication et division. Pour autant, la recherche fondamentale en arithmétique ne s’est pas arrêtée à la fin de l’Antiquité. « L’enseignement des mathématiques donne l’impression qu’il n’existe que des problèmes fermés auxquels il suffit d’appliquer la bonne formule pour les résoudre, comme on apprend le théorème de Pythagore. En recherche, au contraire, il y a plus de questions ouvertes que de réponses », remarque Daniel Fiorilli, chercheur en théorie analytique des nombres au Laboratoire de mathématiques d’Orsay1.
La quête du pourquoi
En langage moderne, il est question de théorie des nombres. Une version un peu plus épicée de l’arithmétique de l’Antiquité ! Ses théoriciens s’intéressent à la formation, aux propriétés et aux rapports qui existent entre les nombres. Pour cela, ils manipulent des équations, des x et des y, avec des outils provenant de toutes les branches des mathématiques : l’analyse, les probabilités, l’algèbre, la géométrie, etc. Des travaux souvent guidés par une quête dont l’objectif n’est pas simplement « de savoir et connaître les choses, mais de comprendre pourquoi », nous confie Antoine Chambert-Loir, chercheur en géométrie arithmétique à l’Institut de mathématiques de Jussieu-Paris rive gauche2.
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